Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx（其中w＞0，a∈R）的最小正周期是4π
（1）求w的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意的x∈R都有g(shù)（x+π）=g（x），且當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，g（x）=

3

2

-f（x），求g（x）在[0，2π]上的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用倍角公式，輔助角公式化簡f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx，然后利用T=

2π

2w

=4π，計(jì)算即可．
（2）設(shè)π＜x≤2π，則0＜x-π≤π，由g（x+π）=g（x）化簡即可得到g（x）在[π，2π]上的解析式．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

cos²wx+sinwxcoswx
=

3

2

cos2wx+

1

2

sin2wx+

3

2

=sin

π

3

cos2wx+cos

π

3

sin2wx+

3

2

=sin(2wx+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2w

=4π，
∴w=

1

4

．
（2）由（1）可知f(x)=sin(

1

2

x+

π

3

)+

3

2

設(shè)π＜x≤2π，則
0＜x-π≤π．
∵g（x+π）=g（x），
∴g(x)=g(x-π)=

3

2

-f(x-π)
=-sin[

1

2

(x-π)+

π

3

]
=-sin(

1

2

x-

π

6

)．
∴g(x)=

-sin( 1 2 x+ π 3 ) ， x∈[0，π] -sin( 1 2 x- π 6 ) ， x∈(π，2π]

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角恒等變換公式的靈活應(yīng)用和三角函數(shù)的周期性等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．