Question

如圖，有兩條相交成60°的直路XX′，YY′，交點是O，甲、乙分別在OX，OY上，起初甲離O點3km，乙離O點1km，后甲沿XX′方向用2km/h的速度，乙沿Y′Y方向用4km/h的速度同時步行．設(shè)t小時后甲在XX′上點A處，乙在YY′上點B處．
（Ⅰ）求t=1.5時，甲、乙兩人之間的距離；
（Ⅱ）求t=2時，甲、乙兩人之間的距離；
（Ⅲ） 當(dāng)t為何值時，甲、乙兩人之間的距離最短？

Answer 1

分析：（I）當(dāng)t=1.5時，甲運動到點O，而乙運動了6km，故可求甲、乙之間的距離；
（Ⅱ）當(dāng)t=2時，點A在直線XX′上O點左側(cè)距離O 點1km處，而點B在直線YY′上O點上方距離O點9km處，利用余弦定理，可得結(jié)論；
（III）分類討論，利用余弦定理，配方法，即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)t=1.5時，甲運動到點O，而乙運動了6km，故這時甲、乙之間的距離為7．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)t=2時，點A在直線XX′上O點左側(cè)距離O 點1km處，而點B在直線YY′上O點上方距離O點9km處，這時∠AOB=60°，所以，由余弦定理得AB=

12+92-2×1×9×cos120°

=

91

（km）…（8分）
（Ⅲ）當(dāng)0＜t≤

3

2

時，AB=

(3-2t)2+(1+4t)2-2(3-2t)(1+4t)cos60°

=

28t2-14t+7

   …（10分）
當(dāng)t＞

3

2

時，AB=

(2t-3)2+(1+4t)2-2(2t-3)(1+4t)cos120°

=

28t2-14t+7

 …（12分）
∴t小時后，甲、乙兩人的距離為

28t2-14t+7

km
∵

28t2-14t+7

=

28(t- 1 4 )2+ 21 4

∴當(dāng)t=

1

4

小時，甲、乙兩人的距離最短．               …（14分）

點評：本題考查學(xué)生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型的能力，考查了余弦定理，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．