某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)100件產(chǎn)品需要增加投入0.25萬元，設(shè)銷售收入為R（x）（萬元）且R(x)=
5x-0.5x2(0≤x≤5)
12.5(x＞5)
，其中x是年產(chǎn)量（單位百件）．
（1）把利潤H（x）（萬元）表示成年產(chǎn)量的函數(shù)．
（2）當年產(chǎn)量是多少時，當年公司的利潤最大值多少？
分析：（1）利潤函數(shù)H（x）=銷售收入函數(shù)R（x）-成本函數(shù)，x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（產(chǎn)量），代入解析式即可；
（2）由利潤函數(shù)是分段函數(shù)，分別求出最大值，一段利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的自變量x的值，一段利用函數(shù)的單調(diào)性可求出最值，比較即可．
解答：解：（1）當0≤x≤5時，H（x）=R（x）-（0.5+0.25x）=-0.5x2+4.75x-0.5…（2分）
當x＞5時H（x）=12.5-0.5-0.25x=-0.25x+12…（2分）
綜上所述：H(x)=
-0.5x2+4.75x-0.50≤x≤5
-0.25x+12x＞5
…（2分）
（2）當0≤x≤5時，∵H（x）=-0.5x2+4.75x-0.5
∴x=4.75，H（x）max=H（4.75）=10.78125…（3分）
當x＞5時H（x）=12-0.25x在（5，+∞）內(nèi)是減函數(shù)
∴H（x）=12-0.25x＜12-0.25×5=10.75
而10.75＜10.78125…（2分）
∴當年產(chǎn)量為4.75百件時，公司的最大利潤為10.78125萬元．…（1分）
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)和二次函數(shù)的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是10000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需要另外投入80元，又知市場對這種產(chǎn)品的年需求量為800件，且銷售收入函數(shù)g（t）=-t2+1000t，其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤t≤800（利潤=銷售收入-成本）．
（1）若x為年產(chǎn)量，y表示利潤，求y=f（x）的解析式；
（2）當年產(chǎn)量為多少時，求工廠年利潤的最大值？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本為0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投入0.25萬元．經(jīng)預(yù)測知，當售出這種產(chǎn)品t百件時，若0＜t≤5，則銷售所得的收入為5t-
1
2
t2萬元：若t＞5，則銷售所得收入為
1
8
t+
23
2
萬元．
（1）若該公司的這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x百件（x＞0），請把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為當年生產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當年產(chǎn)量為多少時，當年公司所獲利潤最大？
（3）當年產(chǎn)量為多少時，當年公司不會虧本？（取
21.5625
為4.64）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2007•長寧區(qū)一模）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外，每生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品還需要增加投入25元，經(jīng)測算，市場對該產(chǎn)品的年需求量為500件，且當出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-
12
t2（萬元）．
（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件）．試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當該公司的年產(chǎn)量x多大時，當年所得利潤y最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需要投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元，經(jīng)過市場預(yù)測得知，市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，且當售出的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t（單位：百件）時，銷售所得的收入約為5t-
t22
（萬元）．
（Ⅰ）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（單位：百件，x＞0），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤表示為當年產(chǎn)量x的函數(shù)；
（Ⅱ）當該公司的年產(chǎn)量多大時，當年所得的利潤最大？

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