Question

如圖，在△ABC中，

AB

•

AC

=0，|

AB

|=8，|

AC

|=6，L為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點D，E為L上異于D的任意一點，
（1）求

AD

•

CB

的值．
（2）判斷

AE

•

CB

的值是否為一個常數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：法一：（1）由題意及圖形，可把向量

AD

用兩個向量

AB

，

AC

的表示出來，再利用數(shù)量積的公式求出數(shù)量積；
（2）將向量

AE

用

AD

與

DE

表示出來，再由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積，根據(jù)其值的情況確定是否是一個常數(shù)；
法二：（1）由題意可以以BC所在直線為X軸，DE所在直線為Y軸建立坐標系，得出各點的坐標，由向量坐標的定義式求出

AD

，

CB

的坐標表示，由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積；
（2）設E點坐標為（0，y）（y≠0），表示出向量

AE

的坐標再由向量的數(shù)量積坐標表示公式求數(shù)量積即可

解答：解：法1：（1）由已知可得

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，

CB

=

AB

-

AC

，
∴

AD

•

CB

=

1

2

(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)
=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=

1

2

(64-36)=14
（2）

AE

•

CB

的值為一個常數(shù)∵L為L為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點D，E為L上異于D的任意一點，
∴

DE

•

CB

=0，
故：

AE

•

CB

=(

AD

+

DE

)•

CB

=

AD

•

CB

+

DE

•

CB

=

AD

•

CB

=14
解法2：（1）以D點為原點，BC所在直線為X軸，L所在直線為Y軸建立直角坐標系，可求A（

7

5

，

24

5

），
此時

AD

=(-

7

5

，-

24

5

)，

CB

=(-10，0)，

AD

•

CB

=-

7

5

×(-10)+(-

24

5

)×0=14
（2）設E點坐標為（0，y）（y≠0），
∴

AE

=(-

7

5

，y-

24

5

)，
∴

AE

•

CB

=-

7

5

×(-10)+(y-

24

5

)×0=14（常數(shù)）．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，本題采用了二種解法，一是基向量法，一是向量的坐標表示，解題的關鍵是建立坐標系與設定其向量