Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-x+m，且f（log₂a）=m，log₂f（a）=2，（a≠1）．
（1）求a，m的值；
（2）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求f（log₂x）的最值及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知中f（x）=x²-x+m，log₂f（a）=2，f（log₂a）=m，可構(gòu)造關(guān)于a，m的對(duì)數(shù)方程，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可將其化為整式方程，解答后可得a，m值；
（2）由f（x）=x²-x+m利用配方法可得f（log₂x）=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得x為何值時(shí)f（log₂x）有最值，及其最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x+m，log₂f（a）=2，f（log₂a）=m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{a}^{2}-a+m）=2}\\{lo{{g}_{2}}^{2}a-lo{g}_{2}a+m=m}\end{array}\right.$，
由第二個(gè)式子，可得log₂a=0或log₂a=1，
又a≠1，故a=2，
代入①log₂（m+2）=2得m=2，
∴a=2，m=2；                                                  
（2）f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2
=（log₂x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
由x∈[1，4]，即有l(wèi)og₂x∈[0，2]，
當(dāng)log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)有最小值，且為$\frac{7}{4}$；
當(dāng)log₂x=2，即x=4時(shí)，函數(shù)有最大值，且為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)方程，是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，難度中檔．