Question

14．設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在正實數(shù)k，使得對于任意x∈D，有（x+k）∈D，且f（x+k）≥f（x），則稱f（x）是D上的“k級增函數(shù)”．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=sinx是否為R上的“k級增函數(shù)”？請說明理由；
（2）試證明：對任意的實數(shù)k∈（0，4），函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，（x≥0）}\\{{-x}^{2}-2x，（x＜0）}\end{array}\right.$不是R上的“k級增函數(shù)”；
（3）已知奇函數(shù)g（x）是R上的“4級增函數(shù)”，且當x≥0時，g（x）=|x-a²|-a²，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)“k級增函數(shù)”的定義分別進行驗證不等式f（x+k）≥f（x）是否恒成立即可．

解答 解：（1）∵sin（x+2π）=sinx，
∴sin（x+2π）≥sinx恒成立，
∴函數(shù)f（x）=sinx為R上的2π級增函數(shù)．
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
假設當k=2時，則f（-1+2）=f（1）=1-2=-1，而f（-1）=-1+2=1，
此時不滿足f（-1+2）≥f（1），
故函數(shù)h（x）不是R上的“k級增函數(shù)”；
（3）根據(jù)題意，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，
則當x≥a²時，f（x）=x-2a²，
0≤x≤a²時，f（x）=-x，
由奇函數(shù)對稱性，有則當x≤-a²時，f（x）=x+2a²，
-a²≤x≤0時，f（x）=-x，
圖象如圖：易得其圖象與x軸交點為M（-2a²，0），N（2a²，0）
因此f（x）在[-a²，a²]是減函數(shù)，其余區(qū)間是增函數(shù)．
f（x）為R上的4高調函數(shù)，則對任意x，有f（x+4）≥f（x），
故當-2a²≤x≤0時，f（x）≥0，為保證f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a²；
有-2a²≤x≤0且x+4≥2a²可得4≥4a²；
解可得：-1≤a≤1；

點評 本題主要考查與函數(shù)有關的新定義的應用，弄清新定義的本質，找到判斷的標準是解本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．