【題目】已兩動圓和，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸交點為，且曲線上異于點的相異兩點、滿足.

(1)求曲線的方程；

(2)證明直線恒經(jīng)過一定點，并求出此定點的坐標.

【答案】（1）；（2）直線恒過定點。

【解析】

（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進而得到的軌跡方程；

（2），設(shè)，，，，根據(jù)直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，根據(jù)條件，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合韋達定理和直線恒過定點的求法，即可得到定點；

解：（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有．

由橢圓的定義可知的軌跡是以、為焦點橢圓，且．，

所以曲線的方程是：．

（2）證明：由題意可知：，設(shè)，，，，

當的斜率不存在時，易知滿足條件的直線為：，過定點；

當的斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立方程組：，

把②代入①有：，

③，④，

因為，所以有即，

，

把③④代入整理：，

（有公因式繼續(xù)化簡得，或（舍去，

綜上，直線恒過定點．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題，；．

（1）若為假命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2））若為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點，過點且與軸不垂直的直線與拋物線交于，兩點，關(guān)于軸的對稱點為.

（1）求拋物線的方程；

（2）試問直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若四面體的三組對棱分別相等，即，給出下列結(jié)論：

①四面體每組對棱相互垂直；

②四面體每個面的面積相等；

③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；

④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分.

其中正確結(jié)論的序號是__________． (寫出所有正確結(jié)論的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】央視春晚長春分會場，演員身穿獨特且輕薄的石墨烯發(fā)熱服，在寒氣逼人的零下春晚現(xiàn)場表演了精彩的節(jié)目.石墨烯發(fā)熱服的制作：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜，再把石墨烯發(fā)熱膜鋪到衣服內(nèi).

（1）從石墨分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶�，F(xiàn)在有材料、材料供選擇，研究人員對附著在材料上再結(jié)晶做了次試驗，成功次；對附著在材料上再結(jié)晶做了次試驗，成功次.用二列聯(lián)表判斷：是否有的把握認為試驗是否成功與材料和材料的選擇有關(guān)？

材料

材料

成功

不成功

（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有四個環(huán)節(jié)：①透明基底及膠層；②石墨烯層；③銀漿線路；④表面封裝層。前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，每個環(huán)節(jié)不合格需要修復(fù)的費用均為元；第四環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為元，問：一次生產(chǎn)出來的石墨烯發(fā)熱膜成為合格品平均需要多少修復(fù)費用？

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列4個命題，其中正確命題的序號____________.

①；

②函數(shù)有個零點；

③函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱。

④已知，函數(shù)的圖象過點，則的最小值是.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，點分別為棱的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面

(Ⅱ)求證：平面平面;

(Ⅲ)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成的角為300?如果存在，求出線段的長；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上兩點、，焦點滿足，線段的垂直平分線過.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點作直線，使得拋物線上恰有三個點到直線的距離都為，求直線的方程.

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同步練習冊答案