Question

已知函數(shù)y=f（x）在R上是偶函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，給出如下命題：
①函數(shù)y=f（x）在[-9，6]上為增函數(shù)     
②直線x=-6是y=f（x）圖象的一條對稱軸
③f（3）=0
④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號為

②③④

．

Answer 1

分析：①根據(jù)偶函數(shù)f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，則f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，知①不正確；
②將f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函數(shù)，再由f（x）是偶函數(shù)可得，x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到f（3）=0；
④根據(jù)f（3）=0，周期為6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四個(gè)零點(diǎn)．

解答：解：①因?yàn)楫?dāng)x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時(shí)，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立，故f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，
又f（x）為偶函數(shù)，故在[-3，0]上為減函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②令x=-3，由f（x+6）=f（x）+f（3），得f（3）=f（-3）+f（3），
∵y=f （x）在R上是偶函數(shù)，∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函數(shù)．
由于f（x）為偶函數(shù)，y軸是對稱軸，
故直線x=-6也是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸，故②正確．
③令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3），函數(shù)y=f （x）在R上是偶函數(shù)，
得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故③正確．
④函數(shù)f（x）周期為6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
故y=f（x）在[-9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)，故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，綜合性比較強(qiáng)，需熟練靈活掌握，屬于基礎(chǔ)題．