Question

f（x）=

4x2-7

2-x

，g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），若對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則a的取值范圍為

1≤a≤

3

2

．

Answer 1

分析：由題意對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，即g（x）的值域包含f（x）的值域，分別求值域，轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系問(wèn)題．

解答：解：設(shè)t=2-x，則t∈[1，2]，y=4t+

9

t

-16
∴-4≤y≤-3
∴f（x）值域[-4，-3]，
∵g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），∴g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a）
若0＜a≤

3

3

，則g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a³-2a]；
若

3

3

＜a＜1，則g（x）在x∈[0，1]上的值域[-2a，-2a³-2a]；
若a≥1，則g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a²-2a，-2a]；
由條件，對(duì)于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
故只須g（x）的值域包含f（x）的值域
∴

0＜a≤ 3 3 1-3a2-2a≤-4 -2a3-2a≥-3

或

3 3 ＜a＜1 -2a≤-4 -2a3-2a≥-3

或

a≥1 1-3a2-2a≤-4 -2a≥-3

∴1≤a≤

3

2

故答案為：1≤a≤

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域問(wèn)題，任意性和存在性命題問(wèn)題，考查對(duì)題目的理解和轉(zhuǎn)化能力．