Question

設函數f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）證明：當n＞m＞1時，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）證明：當n＞2013，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R⁺，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1時，（

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

） 

1

n

＞（

1

2014

） 

1

2013

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=1-1-ln（1+x）判斷函數的單調性，找出極值點，從而解決問題；（Ⅱ） 中引進新函數g（x），通過求導解決問題；（Ⅲ）由x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R⁺，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，根據柯西不等式進行證明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=1-1-ln（1+x）
=-ln（1+x），x＞-1，
∴-1＜x＜0，f′（x）＞0，f（x）遞增；
x＞0，f′（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）_max=f（0）=0．
（Ⅱ）   令g(x)=

ln(1+x)

x

，x＞-1，
則g′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

由（Ⅰ）知：f（x）=x-（x+1）ln（x+1）≤0，
∴g′（x）＜0，g（x）遞減．
∵n＞m＞1，
∴

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

，
ln（1+n）^m＜ln（1+m）ⁿ，
∴（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（Ⅲ）∵x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R⁺，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1，
由柯西不等式得：
（

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

）[（1+x₁）+（1+x₂）+…+（1+x_n）]≥（x₁+x₂+…+x_n）²
∴

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+…+

xn2

1+xn

≥

1

n+1

，
(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+…+

xn2

1+xn

)

1

n

≥(

1

n+1

)

1

n

，
∵n＞2013，由（Ⅱ）知：（1+n）²⁰¹³＜（1+2013）ⁿ，(1+n)

1

n

＜2014

1

2013

，
∴(

1

1+n

)

1

n

＞(

1

2014

)

1

2013

，
∴(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+…+

xn2

1+xn

)

1

n

＞(

1

2014

)

1

2013

．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求函數的最值問題，不等式的證明，是一道綜合題．