Question

已知函數f（x）=x²-（a+1）x+a，其中a為實常數．
（1）解關于x的不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，（x-a）（x-1）＜0
①當a＞1時，不等式的解集為{x|1＜x＜a}
②當a=1時，不等式的解集為∅
③當a＜1時，不等式的解集為{x|a＜x＜1}
（2）不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2對任意x＞1恒成立
將參數a分離出來，即x²-2x+2≥a（x-1）
由于x＞1，所以a≤
∵x＞1，∴
所以）的最小值為2，當且僅當x=2時，取得最小值．
所以a≤2
分析：（1）先把不等式化簡為x-a）（x-1）＜0，再進行分類討論：a＞1；a=1；a＜1，可求不等式的解集；
（2）不等式f（x）≥x-2對任意x＞1恒成立，即x²-（a+1）x+a≥x-2對任意x＞1恒成立，將參數a分離出來，即x²-2x+2≥a（x-1），由于x＞1，所以a≤，利用基本不等式可求）的最小值為2，從而可求a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查一元二次不等式的解法，考查恒成立問題，解題的關鍵是正確分類，利用分離參數法求解恒成立問題．