Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2a1og₂（x²+2）+a²-3有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A、1
• B、-3
• C、2
• D、1或-3

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，再由函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)故只能是f（0）=0，從而得到答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+2a1og₂（x²+2）+a²-3，f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由題意知f（x）=0只有x=0這一個(gè)零點(diǎn)，
把（0，0）代入函數(shù)表達(dá)式得：a²+2a-3=0，
解得：a=-3（舍），或a=1，
令t=x₂，則f（x）=g（t）=t+2alog2（t+2）+a²-3．
當(dāng)a=1時(shí)，g（t）=t+2log2（t+2）-2，
由于g（t）≥g（0）=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，符合條件；
當(dāng)a=-3時(shí)，g（t）=t-6log2（t+2）+6，
由g（30）=30-6×5+6＞0，g（14）=14-6×4+6＜0，
知f（x）至少有三個(gè)根，不符合．
所以，符合條件的實(shí)數(shù)a的值為1．
故答案選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念，要注意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)f（x）=0時(shí)的x的值，屬于中檔題．