Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°．
（I）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PCD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證BC⊥平面PAC，只需證明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（Ⅱ）先作出二面角D-PC-A的平面角（利用三垂線定理），然后求解即可；
（Ⅲ）要求點B到平面PCD的距離，利用等體積法求解即可．
對于（Ⅱ）（Ⅲ），還可以利用空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用數(shù)量積和距離公式解答．
解答：解：法一
（1）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；（4分）
（2）∵AB∥CD，∴∠DAB=120°
．∠ADC=60°，又AD=CD=1，∴△ADC為等邊三角形，且AC=1．
取AC的中點O，則DO⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥DO，
∴DO⊥平面PAC過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH，
由三垂線定理知DH⊥PC．∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角．
由．
∴，∴∠DHO=arctan2．
∴二面角D-PC-A的大小為arctan2；（9分）
（3）設(shè)點B到平面PCD的距離的距離為d．
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，∴AB∥平面PCD．
∴點B到平面PCD的距離等于點A到平面PCD的距離．（11分）
∵V_A-PCD=V_P-ACD，∴（13分）
∴．（14分）

解法二
（1）同解法一；（4分）
（2）取CD的中點E，則AE⊥CD，∴AE⊥AB．
又PA⊥底面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，（5分）
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則
，，（7分）
設(shè)n₁=（x₁，y₁，z₁）為平面PAC的一個法向量，
n₂=（x₂，y₂，z₂）為平面PDC的一個法向量，
則，
可取；

可取．（9分）
∴（10分）
=．
故所求二面角的大小為．（11分）
（3）又（7）．（12分）
由（Ⅱ）取平面PCD的一個法向量，
∴點B到平面PCD的距離的距離為． （13分）
=．（14分）
點評：本題考查直線與平面垂直，二面角，點的平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．