Question

已知數(shù)列{a_n}滿足S_n＋a_n＝2n＋1,  (1) 寫出a₁, a₂, a₃,并推測a_n的表達(dá)式；

(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝,          

猜測 a_n＝2－                   

(2)證明： ①由（1）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；         

②假設(shè)n＝k時(shí),命題成立，即 a_k＝2－,      

 當(dāng)n＝k＋1時(shí), a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,

 且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k

 ∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

 ∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－,      即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立.  

綜合(1),(2)可知：對(duì)于任意正整數(shù)n,都有 

【解析】略