設(shè)滿足條件P:數(shù)學(xué)公式的數(shù)列組成的集合為A,而滿足條件Q:數(shù)學(xué)公式的數(shù)列組成的集合為B.
(1)判斷數(shù)列{an}:an=1-2n和數(shù)列{bn}:數(shù)學(xué)公式是否為集合A或B中的元素?
(2)已知數(shù)列數(shù)學(xué)公式,研究{an}是否為集合A或B中的元素;若是,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)已數(shù)學(xué)公式,若{an}為集合B中的元素,求滿足不等式|2n-an|<60的n的值組成的集合.

解:(1)∵an=1-2n
∴an+an+2=(1-2n)+[1-2(n+2)]=-4n-2,2an+1=2[1-2(n+1)]=-4n-2

∴{an}為集合A中的元素,即{an}∈A.…(2分)
,
∴bn+bn+2<2bn+1
∴{bn}為集合B中的元素,即{bn}∈B.…(4分)
(2)an+an+2-2an+1=(n-k)3+(n+2-k)3-2(n+1-k)3=6(n+1-k),
當(dāng)k≤2時(shí),an+an+2≥2an+1對(duì)n∈N*恒成立,此時(shí),{an}∈A;…(7分)
當(dāng)k>2時(shí),令n=1,n+1-k<0,an+an+2<2an+1;
設(shè)[k]為不超過(guò)k的最大整數(shù),令n=[k]+1,n+1-k>0,an+an+2>2an+1,此時(shí),{an}∉A,{an}∉B.…(10分)
(3)|2n-an|=|2n-31log2n|<60,令cn=2n-31log2n,
cn+1-cn=2-31log2>0,即n>21.8;
當(dāng)n≥22時(shí),cn+1>cn,于是c22<c23<…,
當(dāng)n<21時(shí),cn+1<cn,于是c1>c2>…>c22;…(13分)
∵|c4|=|-54|<60,|c5|≈|-61.9|>60,|c62|≈|-60.6|>60,|c63|≈|-59.3|<60,
|c140|≈58.99<60,|c141|≈60.7>60,
∴滿足不等式|2n-an|<60的n的值組成的集合為{c1,c2,c3,c4,c63,c64,…c140},共82項(xiàng).…(16分)
分析:(1)根據(jù)an=1-2n,可得,從而可得{an}為集合A中的元素;同理可得bn+bn+2<2bn+1,故{bn}為集合B中的元素;
(2)計(jì)算an+an+2-2an+1=6(n+1-k),分類討論:當(dāng)k≤2時(shí),{an}∈A;設(shè)[k]為不超過(guò)k的最大整數(shù),令n=[k]+1,n+1-k>0,可得{an}∉A,{an}∉B;
(3)由|2n-an|=|2n-31log2n|<60,令cn=2n-31log2n,作差,可確定當(dāng)n≥22時(shí),cn+1>cn,當(dāng)n<21時(shí),cn+1<cn,由此可得滿足不等式|2n-an|<60的n的值組成的集合.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查新定義,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是理解新定義,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義:對(duì)于任意n∈N*,滿足條件
an+an+2
2
an+1
且an≤M(M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列an稱為T數(shù)列.
(1)若an=-n2+9n(n∈N*),證明:數(shù)列an是T數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)為bn=50n-(
3
2
)n
,且數(shù)列bn是T數(shù)列,求常數(shù)M的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列cn=|
p
n
-1|
(n∈N*,p>1),問(wèn)數(shù)列bn是否是T數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•浦東新區(qū)一模)設(shè)滿足條件P:an+an+2≥2an+1(n∈N*)的數(shù)列組成的集合為A,而滿足條件Q:an+an+2<2an+1(n∈N*)的數(shù)列組成的集合為B.
(1)判斷數(shù)列{an}:an=1-2n和數(shù)列{bn}:bn=1-2n是否為集合A或B中的元素?
(2)已知數(shù)列an=(n-k)3,研究{an}是否為集合A或B中的元素;若是,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)已an=31(-1)ilog2n(i∈Z,n∈N*),若{an}為集合B中的元素,求滿足不等式|2n-an|<60的n的值組成的集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•鹽城二模)設(shè)Sn是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,給出如下兩個(gè)命題上:命題p:{an}是等差數(shù)列;命題q:等式
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
=
kn+b
a1an+1
對(duì)任意n(n∈N*)恒成立,其中k,b是常數(shù).
(1)若p是q的充分條件,求k,b的值;
(2)對(duì)于(1)中的k與b,問(wèn)p是否為q的必要條件,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若p為真命題,對(duì)于給定的正整數(shù)n(n>1)和正數(shù)M,數(shù)列{an}滿足條件
a
2
1
+
a
2
n+1
≤M
,試求Sn的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)滿足條件P:的數(shù)列組成的集合為A,而滿足條件Q:的數(shù)列組成的集合為B.
(1)判斷數(shù)列{an}:an=1-2n和數(shù)列{bn}:是否為集合A或B中的元素?
(2)已知數(shù)列,研究{an}是否為集合A或B中的元素;若是,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)已,若{an}為集合B中的元素,求滿足不等式|2n-an|<60的n的值組成的集合.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案