Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，f（x）的最大值為2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的對(duì)稱(chēng)軸方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）解析式第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）求出x的范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出正弦函數(shù)的最大值，表示出函數(shù)的最大值，由已知最大值求出a的值即可，令這個(gè)角等于kπ+（k∈Z），求出x的值，即可確定出對(duì)稱(chēng)軸方程．
解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=sin（2x+）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
當(dāng)2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z）時(shí)f（x）單調(diào)遞增，
解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
則x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，]時(shí)，≤2x+≤，
當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，sin（2x+）=1，
則f（x）max=+1+a=2，
解得：a=1-，
令2x+=kπ+（k∈Z），得到x=+（k∈Z）為f（x）的對(duì)稱(chēng)軸．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．