Question

17．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c．直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與橢圓的一個交點為M，O為坐標原點，若|OM|=c，則橢圓的離心率是$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 由題意求出直線與坐標軸的交點，求出M的坐標，然后橢圓方程即可求解橢圓的離心率．

解答 解：直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與坐標軸的交點分別為A（-c，0），B（0，$\sqrt{3}$c）．|AB|=2c．
直線y=$\sqrt{3}$（x+c）與橢圓的一個交點為M，O為坐標原點，若|OM|=c，
可得M是AB的中點，M（$-\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}c}{2}$）．
則：$\frac{{c}^{2}}{{4a}^{2}}+\frac{{3c}^{2}}{{4b}^{2}}=1$，即$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{3c}^{2}}{{4a}^{2}-4{c}^{2}}=1$，
化簡得：$\frac{{e}^{2}}{4}+\frac{{3e}^{2}}{4-4{e}^{2}}=1$，
解得e=$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．