Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1，其中a為實數(shù)，
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有實數(shù)解，求a的取值范圍；
（3）設(shè)a_k，b_k（k=1，2…，n）均為正數(shù)，且a₁b₁+a₂b₂…a_nb_n≤b₁+b₂…b_n，求證：

a

b1 1

a

b2 2

…

a

bn n

＜1．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；
（2）先求出f'（x）=e^x-a（0＜x≤2），再討論①當(dāng)a≤1時，②當(dāng)a≥e²時，③當(dāng)1＜a＜e²時的情況，從而求出a的范圍；
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，e^x＞x+1，得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），求和得

n

k=1

ln

a

b1 k

＜

n

k=1

akbk-

n

k=1

bk≤0．從而問題得證．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x-1，由f'（x）=0得x=0
當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）內(nèi)遞增；
當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，0）內(nèi)遞減；
故函數(shù)f（x）在x=0處取得最小值f（1）=0．
（2）f'（x）=e^x-a（0＜x≤2）
①當(dāng)a≤1時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞增；
f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實數(shù)解；
②當(dāng)a≥e²時，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]內(nèi)遞減；
f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上無實數(shù)解；
③當(dāng)1＜a＜e²時，由f'（x）=0，得x=lna，
當(dāng)0＜x＜lna時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)lna＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
又f（0）=0，f（2）=e²-2a-1
由f（2）=e²-2a-1≥0得1＜a≤

e2-1

2

故a的取值范圍為(1，

e2-1

2

]
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時，e^x＞x+1，即ln（x+1）＜x．
∵a_k，b_k＞0，從而有l(wèi)na_k＜a_k-1，
得b_klna_k＜a_kb_k-b_k（k=1，2，…，n），
求和得

n

k=1

ln

a

b1 k

＜

n

k=1

akbk-

n

k=1

bk≤0．
即ln(

a

k1 1

a

k2 2

…

a

kn n

)＜0，
故

a

k1 1

a

k2 2

…

a

kn n

＜1．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的證明，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．