Question

已知等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3n-2，等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₁，b₄=a₃+1．記集合A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N*}，U=A∪B，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列{c_n}．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)和S₅₀；
（Ⅲ）把集合?_UA中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列{d_n}，寫(xiě)出數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=a₁=1，b₄=a₃+1=8，則q³=8，∴q=2，
∴b_n=2^n-1；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的增長(zhǎng)速度，數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)至多在數(shù)列{a_n}中選50項(xiàng)，數(shù)列{a_n}的前50項(xiàng)所構(gòu)成的集合為{1，4，7，10，…，148}，
由2^n-1＜148得，n≤8，數(shù)列{b_n}的前8項(xiàng)構(gòu)成的集合為{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，2，8，32，128不是等差數(shù)列中的項(xiàng)，a₄₆=136＞128，故數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)應(yīng)包含數(shù)列{a_n}的前46項(xiàng)和數(shù)列{b_n}中的2，8，32，128這4項(xiàng)．
所以S₅₀==3321；
（Ⅲ）據(jù)集合B中元素2，8，32，128∉A，猜測(cè)數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=2^2n-1．
∵d_n=b_2n，∴只需證明數(shù)列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），
證明如下：∵b_2n+1-b_2n-1=2²ⁿ-2^2n-2=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，即b_2n+1=b_2n-1+3×4^n-1，
若?m∈N^*，使b_2n-1=3m-2，那么b_2n+1=3m-2+3×4^n-1=3（m+4^n-1）-2，
所以，若b_2n-1∈A，則b_2n+1∈A．因?yàn)閎₁∈A，重復(fù)使用上述結(jié)論，即得b_2n-1∈A（n∈N^*）．
同理，b_2n+2-b_2n=2²ⁿ⁺¹-2^2n-1=2×4ⁿ-2×4^n-1=3×2×4^n-1，即b_2n+2=b_2n+3×2×4^n-1，
因?yàn)椤?×2×4^n-1”為數(shù)列{a_n}的公差3的整數(shù)倍，
所以說(shuō)明b_2n 與b_2n+2（n∈N^*）同時(shí)屬于A或同時(shí)不屬于A，
當(dāng)n=1時(shí)，顯然b₂=2∉A，即有b₄=2∉A，重復(fù)使用上述結(jié)論，即得b_2n∉A，
∴d_n=2^2n-1；
分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得q，從而得到通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的增長(zhǎng)速度，判斷數(shù)列{c_n}的前50項(xiàng)中包含{a_n}、{b_n}的項(xiàng)的情況，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可得到結(jié)果；
（Ⅲ）據(jù)集合B中元素2，8，32，128∉A，猜測(cè)數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=2^2n-1，由d_n=b_2n，∴只需證明數(shù)列{b_n}中，b_2n-1∈A，b_2n∉A（n∈N^*），通過(guò)作差b_2n+1-b_2n-1，可判斷若b_2n-1∈A，則b_2n+1∈A．根據(jù)為b₁∈A判斷b_2n-1∈A（n∈N^*）．同理可判斷b_2n∉A，從而得到d_n=2^2n-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合及數(shù)列求和，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，本題中（Ⅲ）問(wèn)先猜后證的思路值得借鑒學(xué)習(xí)，要細(xì)心領(lǐng)會(huì)．