Question

已知函數(shù)，g（x）=x+a（a＞0）
（1）求a的值，使點(diǎn)M（f（x），g（x））到直線(xiàn)x+y-1=0的最短距離為；
（2）若不等式在x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示距離，利用換元法，進(jìn)而利用二次函數(shù)的配方法即可求解；
（2）將絕對(duì)值符號(hào)化去，從而轉(zhuǎn)化為上恒成立，進(jìn)而利用換元法轉(zhuǎn)化為at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，從而得解．
解答：解：（1）由題意得M到直線(xiàn)的距離，令
則
∵t≥0∴a≥1時(shí)，
即t=0時(shí)，∴a=30＜a＜1時(shí)，d_min=0，不合題意
綜上a=3（6分）
（2）由
即上恒成立
也就是在[1，4]上恒成立
令，且x=t²，t∈[1，2]
由題意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立
設(shè)ϕ（t）=at²-2t+a²，則要使上述條件成立，只需
即滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查點(diǎn)線(xiàn)距離，考查恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握距離公式，熟練恒成立問(wèn)題的處理策略．