Question

已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個(gè)函數(shù)．設(shè)f （x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R），l（x）=2x²+3x-1，h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個(gè)二次函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)a=1，b=2，若h （x）為偶函數(shù)，求h(

2

)；
（Ⅱ）設(shè)b＞0，若h （x）同時(shí)也是g（x）、l（x）在R上生成的一個(gè)函數(shù)，求a+b的最小值；
（Ⅲ）試判斷h（x）能否為任意的一個(gè)二次函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)h（x）=mf（x）+ng（x），則h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n（m≠0），
因?yàn)閔（x）為一個(gè)二次函數(shù)，且為偶函數(shù)，
所以二次函數(shù)h（x）的對(duì)稱軸為y軸，即x=-

m+n

2m

=0，
所以n=-m，則h（x）=mx²-2m，
則h(

2

)=0；（3分）
（Ⅱ）由題意，設(shè)h（x）=mf（x）+ng（x）=mx²+（am+n）x+bn（m，n∈R，且m≠0）
由h（x）同時(shí)也是g（x）、l（x）在R上生成的一個(gè)函數(shù)，
知存在m₀，n₀使得h（x）=m₀g（x）+n₀l（x）=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
所以函數(shù)h（x）=mx²+（am+n）x+bn=2n₀x²+（m₀+3n₀）x+（bm₀-n₀），
則

m=2n0 am+n=m0+3n0 bn=bm0-n0

，（5分）
消去m₀，n₀，得am=(

1

2b

+

3

2

)m，
因?yàn)閙≠0，所以a=

1

2b

+

3

2

，（7分）
因?yàn)閎＞0，
所以a+b=

1

2b

+

3

2

+b≥

3

2

+2

b• 1 2b

=

3

2

+

2

（當(dāng)且僅當(dāng)b=

2

2

時(shí)取等號(hào)），
故a+b的最小值為

3

2

+

2

．（9分）
（Ⅲ）結(jié)論：函數(shù)h（x）不能為任意的一個(gè)二次函數(shù)．
以下給出證明過程．
證明：假設(shè)函數(shù)h（x）能為任意的一個(gè)二次函數(shù)，
那么存在m₁，n₁使得h（x）為二次函數(shù)y=x²，記為h₁（x）=x²，
即h₁（x）=m₁f（x）+n₁g（x）=x²；①
同理，存在m₂，n₂使得h（x）為二次函數(shù)y=x²+1，記為h₂（x）=x²+1，
即h₂（x）=m₂f（x）+n₂g（x）=x²+1．②
由②-①，得函數(shù)h₂（x）-h₁（x）=（m₂-m₁）f（x）+（n₂-n₁）g（x）=1，
令m₃=m₂-m₁，n₃=n₂-n₁，化簡得m₃（x²+ax）+n₃（x+b）=1對(duì)x∈R恒成立，
即m₃x²+（m₃a+n₃）x+n₃b=1對(duì)x∈R恒成立，
所以

m3=0 m3a+n3=0 n3b=1

，即

m3=0 n3=0 n3b=1

，
顯然，n₃b=0×b=0與n₃b=1矛盾，
所以，假設(shè)是錯(cuò)誤的，
故函數(shù)h（x）不能為任意的一個(gè)二次函數(shù)．（14分）
注：第（Ⅲ）問還可以舉其他反例．如h₁（x）=2x²，h₂（x）=2x²+1，