如圖，△ABC中，D是BC邊上的中線，且BC=2
2
，AD=
3
，則△ABC周長的最大值為
2
2
+2
5
2
2
+2
5
．
分析：根據(jù)平面向量加減法的運算法則與向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，算出2（
|AB|
2+
|AC|
2）=4|
AD
|2+|
BC
|2=20．再利用基本不等式，證出（
|AB|
+
|AC|
）2≤2（
|AB|
2+
|AC|
2）=20，從而得出當(dāng)
|AB|
=
|AC|
時，
|AB|
+
|AC|
的最大值為2
5
，由此即可得到△ABC周長的最大值．
解答：解：∵△ABC中，D是BC邊上的中線，
∴
AB
+
AC
=2
AD
，兩邊平方得（
AB
+
AC
）2=4
AD
2=4|
AD
|2=12．…①
又∵
BC
=
AC
-
AB
，BC=2
2
，
∴（
AC
-
AB
）2=
BC
2=|
BC
|2=8．…②
將①②兩式相加，可得（
AB
+
AC
）2+（
AC
-
AB
）2=20，
即2（
AB
2+
AC
2）=20，可得
|AB|
2+
|AC|
2=10，
由基本不等式，得（
|AB|
+
|AC|
）2≤2（
|AB|
2+
|AC|
2）=20，
∴
|AB|
+
|AC|
≤
20
=2
5
，
當(dāng)且僅當(dāng)
|AB|
=
|AC|
=
5
時，
|AB|
+
|AC|
的最大值為2
5
，
因此，△ABC周長
|AB|
+
|AC|
+
|BC|
的最大值為2
2
+2
5

故答案為：2
2
+2
5
．
點評：本題結(jié)合三角形一邊長和這條邊上的中線長，求三角形周長的最大值，著重考查了利用基本不等式求最值、向量的線性運算法則和向量數(shù)量積的運算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，CA的中點，在以A、B、C、D、E、F為端點的有向線段中所表示的向量中，
（1）與向量
FE
共線的有
 
．
（2）與向量
DF
的模相等的有
 
．
（3）與向量
ED
相等的有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，D，E分別是BC，AC的中點，設(shè)AD與BE相交于G，求證：AG：GD=BG：GE=2：1．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，△ABC中，D為邊AB上的點，∠CAD=60°，CD=21，CB=31，DB=20．
（I）記∠CDB=α，求sinα；
（II）求AD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•珠海一模）（幾何證明選講選做題）
如圖，△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC，如果AC=10，BC=15，那么AE=
4
4
．

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同步練習(xí)冊答案