Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a-2）x-alnx，其中常數(shù)a≠0．
（I）若x=3是函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)，求a的值；
（II）當(dāng)a=-2時(shí)，給出兩組直線：6x+y+m=0，x-y+n=0，其中m，n為常數(shù)，判斷這兩組直線中是否存在y=f（x）的切線，若存在，求出切線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（III）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實(shí)數(shù)解？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）若x=3是函數(shù)y=f（x）極值點(diǎn)，則x=3時(shí)導(dǎo)數(shù)一定為0，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，解出a值即可．
（II）y=f（x）的切線斜率，時(shí)y=f（x）在切點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)，先求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，考慮哪條直線有可能是切線，
再根據(jù)導(dǎo)數(shù)值等于直線的斜率求切點(diǎn)坐標(biāo)，若能求出，則存在，再求切線方程即可．
（III）把判斷方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實(shí)數(shù)解的問題，轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)由唯一交點(diǎn)的問題，再借助二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象判斷．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x+（a-2）-

a

x

=

2x2+(a-2)x-a

x

∵x=3是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（3）=0，即

2×32+3(a-2)-a

3

=0∴a=-6
檢驗(yàn)：當(dāng)a=-6時(shí)，f（x）=x²-8x+6lnx，f′（x）=2x-8+

6

x

=

2(x-1)(x-3)

x

∴x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0，∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)，x=3是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)．
∴當(dāng)x=3是函數(shù)的極值點(diǎn)時(shí)，a=-6
（II）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x²-4x+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2（x+

1

x

-2）≥0
∴曲線f（x）在定義域內(nèi)的任意一點(diǎn)處的切線的斜率都大于等于0．
∴曲線f（x）可以與x-y+n=0中的一條直線相切
此時(shí)切線的斜率是1，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，f（x₀）），則由f′（x₀）=1解得x₀=

1

2

或2．
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，-2-2ln2），或（2，-4+ln2），
切線方程為x-y-2-2ln2=0或x-y-6+2ln2=0
（III）方程f（x）=（3a-2）x+alnx可化為x²+（a-2）x-alnx=（3a-2）x+alnx
即x²-2ax=2alnx
令函數(shù)g（x）=x²-2ax，h（x）=2alnx
∴函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)h（x）的圖象當(dāng)x＞0時(shí)有唯一交點(diǎn)．
而當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，且過原點(diǎn)，
h（x）圖象在y軸右側(cè)，為過（1，0）點(diǎn)的增函數(shù)，兩函數(shù)的圖象一定有2個(gè)交點(diǎn)．
∴不在正實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程f（x）=（3a-2）x+alnx有唯一實(shí)數(shù)解

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)與極值之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，以及利用函數(shù)圖象判斷方程的根的個(gè)數(shù)．