Question

已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足lna+lnb=ln（a+b），則4a+b的最小值為（　　）

Answer 1

分析：先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)lna+lnb=ln（a+b），得出：

1

a

+

1

b

=1，從而4a+b=（4a+b）×（

1

a

+

1

b

），最后展開(kāi)后利用基本不等式即可求得4a+b的最小值，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：∵lna+lnb=ln（a+b），
∴l(xiāng)nab=ln（a+b），即ab=a+b，
∵a，b都為正實(shí)數(shù)，
∴等式兩邊同除以ab得：

1

a

+

1

b

=1，
∴4a+b=（4a+b）×（

1

a

+

1

b

）=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a × 4a b

=9，
當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

4a

b

，即a=

3

2

，b=3時(shí)取等號(hào)，
∴4a+b的最小值為9．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，以及恒等變形的能力和轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是1的運(yùn)用，屬于中檔題．