Question

設常數(shù)，則a=________；（a+a²+…aⁿ）=________．

Answer 1

    1
分析：（1）利用二項展開式通項公式Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（）^r，整理后，令x的次數(shù)等于3，從而解得a，
（2）由a=＜1，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，則 （a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項和，利用無窮遞降等比數(shù)列的各項和公式，可得解．
解答：（1）由Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（）^r，整理得Tr+1=c₄^ra^4-rx^8-r，
r=2時，即c₄²a²=，∴a=．
故答案為：．
（2）由a=，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，
則 （a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項和，
由無窮遞降等比數(shù)列的各項和公式（ s_n=），
可知 （a+a²+…+aⁿ）=═=1．
故答案為：1．
點評：本題（1）主要考查二項式展開式特定項的系數(shù)的求法，需要熟記展開式的通項公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數(shù)列求和公式及極限的運算，需要注意：當a的絕對值小于1時，aⁿ=0，要記住無窮遞降等比數(shù)列各項和公式 s_n=．在選擇填空中可以加快速度．