Question

已知函數(shù)f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

，
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接根據(jù)奇函數(shù)的定義確定有關(guān)參數(shù)的值；
（2）借助于導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

px2+2

-3x+q

+

px2+2

3x+q

=0，
∴q=0，
∵f（2）=

5

3

，
∴

4p

3

+

2

3×2

=

5

3

，
∴p=1，
∴實(shí)數(shù)p，q的值分別為1，0；
（2）根據(jù)（1），f（x）=

x

3

+

2

3x

，
∵f′（x）=

1

3

-

2

3x2

，（x＞1），
令f′（x）＞0，
∴x＞

2

，
f′（x）＜0，
∴1＜x＜

2

，
∴f（x）的增區(qū)間為：（

2

，+∞），
減區(qū)間為（1，

2

），

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)是奇函數(shù)的重要性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．