Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n（n∈N⁺），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1（n∈N⁺）．
（1）求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n=2n+1．從而$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和．
（2）由已知得$_{n}={2}^{n-1}$，從而a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n（n∈N⁺），
∴a₁=S₁=1+2=3，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1，
n=1時(shí)，2n+1=3=a₁，
∴a_n=2n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和：
A_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{6n+9}$．
（2）∵數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），
∴b₁=T₁=2-1=1，
n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
n=1時(shí)，2^n-1=1=a₁，
∴$_{n}={2}^{n-1}$，
∴a_n•b_n=（2n+1）•2^n-1，
∴數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和：
B_n=3•1+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，①
2B_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，②
①-②，得-B_n=3+2²+2³+…+2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-1-（2n+1）•2ⁿ，
∴B_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列項(xiàng)求和法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．