Question

2．若將函數(shù)f（x）=1+3x⁵-2x⁷表示為f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，其中a₀，a₁，a₂，…，a₇為實(shí)數(shù)，則a₂=-12．

Answer 1

分析 根據(jù)x⁵+3x³+1=[1+（x-1）]⁵+3[1+（x-1）]³+1，按照二項(xiàng)式定理展開，和所給的等式作對(duì)比，求得a₃的值

解答 解：∵函數(shù)f（x）=1+3x⁵-2x⁷=1+3[（x-1）+1]⁵-2[（x-1）+1]⁷
=1+3-2+（3${C}_{5}^{4}$-2${C}_{7}^{6}$）（x-1）+（3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$）•（x-1）²+（3${C}_{5}^{2}$-2${C}_{7}^{4}$）•（x-1）³+…-2${C}_{7}^{0}$•（x-1）⁷，
又f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₇（x-1）⁷，
∴a₂=3${C}_{5}^{3}$-2${C}_{7}^{5}$=30-42=-12，
故答案為：-12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．