Question

（本小題滿分12分）

某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0．7x，年銷售量也相應(yīng)增加．已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量．

(Ⅰ)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(Ⅱ)年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y＝3240(－x²＋2x＋)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 0<x<時，本年度的年利潤比上年度有所增加．

(Ⅱ)當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？首先表示出本年度的年利潤，根據(jù)原題中已知的年利潤=（每輛車的出廠價-每輛車的投入成本）×年銷售量可表示出來．然后列出不等式得到x的取值范圍．

（Ⅱ）根據(jù)題意，要使本年度的年利潤最大，首先表示出本年度年利潤的函數(shù)表達式，然后求出此函數(shù)的導數(shù)為零時x的值，并且考慮導數(shù)大于零和小于零時函數(shù)的增減性可知此時的x值對應(yīng)的函數(shù)值是函數(shù)的最值．

(Ⅰ)由題意得，上年度的利潤為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10(1＋x)；本年度每輛車的出廠價為13(1＋0．7x)；本年度年銷售量為5000(1＋0．4x)，因此本年度的利潤為y＝[13(1＋0．7x)－10(1＋x)]·5000(1＋0．4x)＝(3－0．9x)·5000(1＋0．4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0<x<1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0<x<，x在此范圍內(nèi)，本年度的年利潤比上年度有所增加．

   (Ⅱ)本年度的利潤為f(x)＝(3－0．9x)·3240(－x²＋2x＋)＝3240×(0．9x³－4．8x²＋4．5x＋5)．則f′(x)＝3240(2．7x²－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當x∈(0，)時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當x∈(，1)時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)．∴當x＝時，f(x)取極大值f()＝20000萬元，∵f(x)在 (0,1)上只有一個極大值，∴它是最大值，∴當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元．