Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，圓x²+y²=r²（r＞0）內(nèi)切于正方形ABCD，任取圓上一點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），則$\frac{1}{4}$是m²，n²的等差中項，現(xiàn)有一橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）內(nèi)切于矩形ABCD，任取橢圓上一點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$（m，n∈R），則m²，n²的等差中項為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設(shè)出P的坐標(biāo)，由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$把P的坐標(biāo)用含有m，n的代數(shù)式表示，代入橢圓方程得答案．

解答 解：設(shè)P（x，y），則
由題意，$\overrightarrow{OA}$=（a，b），$\overrightarrow{OB}$=（-a，b），
∵$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=（ma，mb）+（-na，nb），
∴x=（m-n）a，y=（m+n）b，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{（m-n）^{2}{a}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（m+n）^{2}^{2}}{^{2}}=1$，
即${m}^{2}+{n}^{2}=\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題是新定義題，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．