（14分）已知函數(shù)，且其導函數(shù)的圖像過原點．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）當時，求函數(shù)的零點個數(shù)．

解析: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 當時, ,，,

所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

當且僅當時，

所以的最大值為.                                         -----------------9分

極大值

極小值

 (Ⅲ) 當時，的變化情況如下表：

-

 

 

 

 

---11分

 

的極大值，的極小值

又，.

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，

故函數(shù)共有三個零點。--------------------14分

注：①證明的極小值也可這樣進行:

設，則

當時, ,當時, ,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,從而的極小值.

②證明函數(shù)共有三個零點。也可這樣進行:

的極大值，的極小值,

當 無限減小時，無限趨于 當 無限增大時，無限趨于

    故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，

故函數(shù)共有三個零點。--------------------14分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)fn(x)=xn，（x∈N*），其導函數(shù)記為fn′（x），且滿足fn′[ax1+(1-a)x2]  =
f2(x2)-f2(x1) x2-x1
，其中a，x1，x2為常數(shù)，x1≠x2．設函數(shù)g（x）=f1（x）+mf2（x）-lnf3（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無極值點，其導函數(shù)g′（x）有零點，求m的值；
（Ⅲ）求函數(shù)g（x）在x∈[0，a]的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省惠州市2013屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學文科試題 題型：044

已知函數(shù)，且其導函數(shù)的圖像過原點．

(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的圖像在x＝3處的切線方程；

(2)若存在x＜0，使得，求a的最大值；

(3)當a＞0時，求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣東省高三8月摸底考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)，且其導函數(shù)的圖像過原點.

(1)當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程;

(2)若存在，使得，求的最大值；

 

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科目：高中數(shù)學 來源：模擬題 題型：解答題

已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）過P（0，2）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設h（x）=f（x）-g（x）在定義域上為減函數(shù)，且其導函數(shù)y=h′（x）存在零點，求實數(shù)a的值。

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