Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點，
（Ⅰ）求異面直線NE與AM所成角的余弦值？
（Ⅱ）在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：建立空間如圖所示的坐標系，求得

NE

、

AM

的坐標，可得cos＜

NE

 ，

AM

＞的值，再取絕對值，即為異面直線NE與AM所成角的余弦值．
假設(shè)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN，求得

AN

=（0，1，1），可設(shè)

AS

=λ•

AN

=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得

ES • AM =0 ES • AN =0

，解得λ 的值，
可得

AS

的坐標以及|

AS

|的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：以點D為原點，以DA所在的直線為x軸、以DC所在的直線為y軸、以DM所在的直線為z軸，
建立空間坐標系．
則有題意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、
N（1，1，1）、E（

1

2

，1，0）．∴

NE

=（-

1

2

，0，-1），

AM

=（-1，0，1），
cos＜

NE

 ，

AM

＞=

NE  • AM

| NE  |•| AM |

=-

10

10

，故異面直線NE與AM所成角的余弦值為

10

10

．
假設(shè)在線段AN上是否存在點S，使得ES⊥平面AMN，∵

AN

=（0，1，1），
可設(shè)

AS

=λ•

AN

=（0，λ，λ）．
又

EA

=（

1

2

，-1，0），

ES

=

EA

+

AS

=（

1

2

，λ-1，λ），
由ES⊥平面AMN可得

ES • AM =0 ES • AN =0

，即

- 1 2 +λ=0 (λ-1)+λ=0

，解得λ=

1

2

．
此時，

AS

=（0，

1

2

，

1

2

），|

AS

|=

2

2

，故當|

AS

|=

2

2

時，ES⊥平面AMN．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，用坐標法求異面直線所成的角，用坐標法證明兩條直線互相垂直，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．