Question

（2011•通州區(qū)一模）設(shè)0＜x₁＜x₂＜π，a=

sinx1

x1

，b=

sinx2

x2

，則下列關(guān)系正確的是（　　）

A．b＜a＜1

B．a(chǎn)＜b＜1

C．1＜b＜a

D．1＜a＜b

Answer 1

分析：首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=

sinx

x

，利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)在（0，

π

2

）上的單調(diào)性，判斷出在（0，

π

2

）上a，b，1的大小后即可得到設(shè)0＜x₁＜x₂＜π時(shí)的結(jié)論．

解答：解：令f（x）=

sinx

x

，則f′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

x-tanx

x2 cosx

．
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，x-tanx＜0，所以當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)，f^′（x）＜0．
則f（x）為減函數(shù)，所以a＞b，
又當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)sinx＜x，所以當(dāng)0＜x＜

π

2

時(shí)b＜a＜1．
由特值法的思想知此結(jié)論對(duì)于0＜x₁＜x₂＜π也成立．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等關(guān)系與不等式，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)值的問(wèn)題，是中檔題．