Question

在△ABC的AB邊在平面α內，點C在平面α外，AC和BC與平面α所成的角分別為30°和45°且平面ABC與平面α成60⁰的銳二面角，則sin∠ACB=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1或

Answer 1

D
分析：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，根據三垂線定理，DE⊥AB，設CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
解答：解：從C向平面作垂線CD，連接AD，BD，作CE⊥AB，連接DE，
根據三垂線定理，DE⊥AB，設CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，
∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，
根據勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
∵（ h）²=（ h）²+（2h）²，即AB²=BC²+AC²，
∴∠C=90°，sinC=1，
另一種是∠B是鈍角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根據余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（ h）²=（2h）²+（ h）²-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或 ．
故選D．
點評：本題考查與二面角有關的立體幾何的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意勾股定理和余弦定理的靈活運用．