Question

已知函數(shù)，，設(shè)F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)f（x）、g（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數(shù)，且f（0）=1＞0，f（-1）=＜0，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數(shù)，且g（1）=＞0，g（2）=1-2+2-+…-＜0，函數(shù)f（x）在（-1，0）上有一個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)g（x）在（1，2）上有一個(gè)零點(diǎn)，，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點(diǎn)所在區(qū)間，即求f（x+3）的零點(diǎn)和g（x-3）的零點(diǎn)所在區(qū)間，根據(jù)圖象平移即可求得結(jié)果．
解答：解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰=，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數(shù)，
且f（0）=1＞0，f（-1）=＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上有一個(gè)零點(diǎn)；
g′（x）=-1+x-x²+x³-…-x²⁰¹⁰=，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數(shù)，且g（1）=＞0，
g（2）=1-2+2-+…-＜0，
∴函數(shù)g（x）在（1，2）上有一個(gè)零點(diǎn)，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴f（x+3）的零點(diǎn)在（-4，-3）內(nèi)，g（x-3）的零點(diǎn)在（4，5）內(nèi)，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點(diǎn)均在區(qū)間[-4，5]內(nèi)，
∴b-a的最小值為9．
故答案為：9．
點(diǎn)評(píng)：此題是難題．考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問題以及函數(shù)圖象的平移，體現(xiàn)了分類討論的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．