Question

已知等差數(shù)列{a_n}，若a_n=8-2n
（1）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n
（2）設(shè)bn=2an，求證：數(shù)列{b_n+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，判出數(shù)列的前4項(xiàng)大于等于0，從第5項(xiàng)起小于0，然后分類求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n；
（2）把a(bǔ)_n=8-2n代入bn=2an，得到

bn+1

bn-1+1

（n≥2）的值，然后取n=1，n=2驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）由a_n=8-2n，
得a₁=6，d=a_n-a_n-1=8-2n-[8-2（n-1）]=-2（n≥2）．
再由a_n=8-2n≥0，得n≤4．
∴等差數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)大于等于0，從第5項(xiàng)起小于0．
則當(dāng)n≤4時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和
Tn=na1+

n(n-1)d

2

=6n+

n(n-1)(-2)

2

=7n-n²；
當(dāng)n＞4時(shí)，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和
T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+a₄-a₅-a₆-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2（a₁+a₂+a₃+a₄）
=-

(6+8-2n)•n

2

+2[4×6+6×(-2)]=n²-7n+24．
綜上，Tn=

7n-n2         (n≤4) n2-7n+24  (n＞4)

（2）由bn=2an=28-2n，得bn+1=28-2n+1．

bn+1

bn-1+1

=

28-2n+1

28-2(n-1)+1

=

28-2n+1

210-2n+1

（n≥2）．
當(dāng)n=2時(shí)，

28-2n+1

210-2n+1

=

17

65

．
當(dāng)n=3時(shí)，

28-2n+1

210-2n+1

=

5

17

．
∴數(shù)列{b_n+1}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的和的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．