Question

16．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦點(diǎn)F作兩條垂直的弦AB，CD．設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N．求證：直線MN必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 分AB、CD的斜率均存在或有一個(gè)不存在兩種情況討論．當(dāng)AB、CD的斜率均存在時(shí)，設(shè)AB方程為：y=k（x-1），并代入橢圓方程消去y得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$），通過(guò)將k換成-$\frac{1}{k}$可得N（$\frac{3}{2{k}^{2}+3}$，$\frac{2k}{2{k}^{2}+3}$），通過(guò)兩點(diǎn)式方程化簡(jiǎn)可得直線MN方程為：x=-$\frac{3}{5}$（k-$\frac{1}{k}$）y+$\frac{3}{5}$，進(jìn)而可得直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（$\frac{3}{5}$，0）；當(dāng)AB、CD的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，易知結(jié)論成立．

解答 解：∵橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴右焦點(diǎn)F（1，0），
①當(dāng)AB、CD的斜率均存在時(shí)，
設(shè)AB的斜率為k，則CD的斜率為-$\frac{1}{k}$，
∴AB方程為：y=k（x-1），
代入橢圓方程消去y得：
（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，
∴x_M=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，
y_M=k（x_M-1）=-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$，
∴M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$），
將k換成-$\frac{1}{k}$可得N（$\frac{3}{2{k}^{2}+3}$，$\frac{2k}{2{k}^{2}+3}$），
∴直線MN方程為：$\frac{y+\frac{2k}{3{k}^{2}+2}}{\frac{2k}{2{k}^{2}+3}+\frac{2k}{3{k}^{2}+2}}$=$\frac{x-\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}}{\frac{3}{2{k}^{2}+3}-\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}}$，
整理得：x=-$\frac{3}{5}$（k-$\frac{1}{k}$）y+$\frac{3}{5}$，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{3}{5}$，
即直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（$\frac{3}{5}$，0）；
②當(dāng)AB、CD的斜率有一個(gè)不存在時(shí)，
不妨設(shè)AB的斜率不存在，則AB⊥x軸，
∴M點(diǎn)即為F點(diǎn)，
又∵CD與x軸重合，∴N在x軸上，
∴MN與x軸重合，
顯然直線MN過(guò)點(diǎn)（$\frac{3}{5}$，0）；
綜上所述，定點(diǎn)為（$\frac{3}{5}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解題．注意解題方法的積累，屬于中檔題．