已知函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),有f(2)=1,對(duì)于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且滿(mǎn)足當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0成立.
(1)求f(1)、f(4)的值;    
(2)求滿(mǎn)足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范圍.
分析:(1)分別令x=y=1,及x=y=2,即可求出函數(shù)值f(1),f(4).
(2)先利用已知條件證明此函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而利用單調(diào)性把自變量解放出來(lái),從而求出x的取值范圍.
解答:解:(1)令x=y=1,則f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.
令x=y=2,則f(2×2)=f(2)+f(2),∴f(4)=2f(2)=2×1=2.
(2)下面先證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù).
證明:任取x1,x2滿(mǎn)足0<x1<x2,則
x2
x1
>1
,由已知得f(
x2
x1
)>0

∴f(x2)=f(
x2
x1
×x1)
=f(
x2
x1
)
+f(x1)>f(x1),即f(x2)>f(x1),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)是單調(diào)遞增.
∵f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)>2=f(4),∴x2-3x>4,解得x>4,或x<-1,
而已知x>0,∴x<-1應(yīng)舍去,
故x的取值范圍是x>4.
點(diǎn)評(píng):本題考查了抽象函數(shù)的求值及利用其單調(diào)性求自變量的取值范圍,充分理解抽象函數(shù)的條件和恰當(dāng)?shù)娜≈凳墙忸}的關(guān)鍵.
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[-3,3]
[-3,3]

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(1,3]
(1,3]

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