Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且2bcosA=

3

ccosA+

3

acosC
（1）求角A的大�。�
（2）若角B=

π

6

，角A的平分線交方BC于M，且AM的長(zhǎng)為

7

，求AB的長(zhǎng)和△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將已知等式右邊提取

3

，利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，然后利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)b不為0，左右兩邊同時(shí)除以b，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，由AM為角平分線，利用角平分線定義求出∠CAM的度數(shù)，由∠BMA為三角形ACM的外角，利用外角的性質(zhì)求出∠BMA的度數(shù)，再由∠B的度數(shù)，及AM的長(zhǎng)，利用正弦定理求出AB的長(zhǎng)，由三角形ABC為等腰三角形，利用三線合一得到D為AB的中點(diǎn)，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出h的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵2bcosA=

3

ccosA+

3

acosC=

3

（acosC+ccosA）=2

3

R（sinAcosC+sinCcosA）=2

3

Rsin（A+C）=2

3

RsinB=

3

b，
∴cosA=

3

2

，又A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

6

；
（2）在等腰三角形ABM中，B=

π

6

，AM=

7

，
∵AM為∠CAB的平分線，∴∠CAM=∠BAM=

π

12

，
∴∠BMA=

2π

3

+

π

12

=

3π

4

，
由正弦定理

AM

sinB

=

AB

sin∠BMA

，得AB=

7 ×sin 3π 4

sin π 6

=

14

，
∴AB邊上的高為h=

14

2

tan

π

6

=

42

6

，
則S_△ABC=

1

2

•AB•h=

7 3

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，等腰三角形的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．