Question

已知定義在[-3，3]上的函數(shù) ，（t為常數(shù)）．
（1）當(dāng)t∈[2，6]時(shí)，求f（x）在[-2，0]上的最小值及取得最小值時(shí)的x；
（2）當(dāng)t≥6時(shí)，證明函數(shù)y=f（x）的圖象上至少有一點(diǎn)在直線y=8上．

Answer 1

解：（1）f'（x）=t-
∵2≤t≤6∴

x		-
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

當(dāng)時(shí)，即t=6時(shí)，f（x）在上是增函數(shù)，
當(dāng)即2＜t＜6時(shí)，f（x）在減，在上增
∴f（x）在[-2，0]上最小值為，此時(shí)x=-
（2）由（1）可知f（x）在上增，
當(dāng)即時(shí)，f（x）在[-3，3]上最大值為f（3）=3t-=27＞8
當(dāng)即時(shí)，f（x）在[0，3]上最大值為，=8
又f（0）=0，
∴y=f（x）的圖象上至少有一點(diǎn)在直線y=8上
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)f（x）在[-2，0]上的單調(diào)性，確定出最值的位置，求出最值及取得最值時(shí)的自變量；
（2）t≥6時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)在定義在[-3，3]上最大值，將此最值與8比較即可得出所要證明的結(jié)論成立與否
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究清楚函數(shù)的單調(diào)性，確定出最值取到的位置，求出最值，本題第二小題將圖象在直線上方的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的比較，解題時(shí)注意這一技巧的運(yùn)用，本題運(yùn)算量比較大，解題時(shí)要注意嚴(yán)謹(jǐn)運(yùn)算，莫因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致解題失敗