已知函數(shù)f(x)=
x2+ax+1 x≥1
ax2+x+1 x<1
,則“-2≤a≤0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的
必要不充分
必要不充分
條件.(填充分不必要、必要不充分或充要)
分析:由于函數(shù)f(x)為分段函數(shù),故要使其為單調(diào)增函數(shù),需每段上為增函數(shù)且x<1時(shí)的最大值小于或等于x≥1時(shí)的最小值,因此先求函數(shù)為增函數(shù)的充要條件,再比較已知集合與充要條件集合的包含關(guān)系即可判斷其充要性
解答:解:函數(shù)f(x)=
x2+ax+1 x≥1
ax2+x+1 x<1
為分段函數(shù),
當(dāng)x≥1時(shí),為二次函數(shù),圖象是開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為x=-
a
2
的拋物線,x=1時(shí),y1=a+2
當(dāng)x<1時(shí),為二次函數(shù),圖象是開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為x=-
1
2a
的拋物線,x→1時(shí),y2→a+2
函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增的充要條件是
-
a
2
≤1
-
1
2a
≥1
y1-y2≥0
,即
a≥-2
-
1
2
≤a≤0
,即-
1
2
≤a≤0

∵[-2,0]?[-
1
2
,0]
∴“-2≤a≤0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的 必要不充分條件
故答案為  必要不充分
點(diǎn)評(píng):本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,判斷命題充要性的方法,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
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(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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