Question

已知動圓過定點A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）點P為軌跡C上任意一點，直線l為軌跡C上在點P處的切線，直線l交直線：y=-1于點R，過點P作PQ⊥l交軌跡C于點Q，求△PQR的面積的最小值．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出動圓圓心C的坐標，由圓的半徑、弦心距及半弦長的關系列式整理求得動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）化（1）中的拋物線方程為函數(shù)式，設出P點坐標，求出函數(shù)導函數(shù)，得到切線PR的方程，代入y=-1求得點R的橫坐標，求出PQ所在直線方程，和拋物線聯(lián)立化為關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)關系求得Q點橫坐標，求出線段PQ和PR的長度，由三角形面積公式得到面積關于P點橫坐標的函數(shù)，利用換元法及基本不等式求最值．

解答： 解：（1）設C（x，y），
由動圓過定點A（0，2），且在x軸上截得的弦長為4得，|CA|²-y²=4，
即x²+（y-2）²-y²=4，整理得：x²=4y．
∴動圓圓心的軌跡C的方程為x²=4y；
（2）C的方程為x²=4y，即y=

1

4

x2，故y′=

1

2

x，設P(t，

t2

4

)，
PR所在的直線方程為y-

t2

4

=

t

2

(x-t)，即y=

t

2

x-

t2

4

，
則點R的橫坐標xR=

t2-4

2t

，|PR|=

1+ t2 4

|xR-t|=

4+t2 (t2+4)

4|t|

；                
PQ所在的直線方程為y-

t2

4

=-

2

t

(x-t)，即y=-

2

t

x+2+

t2

4

，
由

y=- 2 t x+2+ t2 4 y= 1 4 x2

，得

x2

4

+

2

t

x-2-

t2

4

=0，由xP+xQ=-

8

t

得點Q的橫坐標為xQ=-

8

t

-t，|PQ|=

1+ 4 t2

|xP-xQ|=

1+ 4 t2

|

8

t

+2t|=

2 t2+4 (t2+4)

t2

，
∴S△PQR=

1

2

|PQ||PR|=

(t2+4)3

4t2|t|

，不妨設t＞0，記f(t)=

t2+4

t

，(t＞0)，
則當t=2時，f（t）_min=4．
由S△PQR=

1

4

[f(t)]3，得△PQR的面積的最小值為16．

點評：本題考查了軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系解題，是高考試卷中的壓軸題．