Question

已知圓c₁：（x+1）²+y²=8，點(diǎn)c₂（1，0），點(diǎn)Q在圓C₁上運(yùn)動(dòng)，QC₂的垂直一部分線交QC₁于點(diǎn)P．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)S（0，-）且斜率為k的動(dòng)直線l交曲線W于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)D，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出D的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由QC₂的垂直平分線交QC₁于P，知|PQ|=|PC₂|，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是點(diǎn)C₁，C₂為焦點(diǎn)的橢圓．由此能夠求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）直線l的方程為y=kx-，聯(lián)立直線和橢圓方程，得，整理得（1+2k²）x²-12kx-16=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，，由此能夠求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（I）∵QC₂的垂直平分線交QC₁于P，
∴|PQ|=|PC₂|，
|PC₂|+|PC₁|=|PC₁|+|PQ|=，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是點(diǎn)C₁，C₂為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，
∵，∴b²=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（II）直線l的方程為y=kx-，聯(lián)立直線和橢圓方程，得
，∴9（1+2k²）x²-12kx-16=0，
由題意知，點(diǎn)S（0，-）在直線上，動(dòng)直線l交曲線W于A、B兩點(diǎn)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)D（0，m），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，
則，
，
∵，
∴x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=
=-
==0．
∴，∴m=1，
所以，在y軸上存在滿足條件的定點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線和圓的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．