Question

14．已知m∈R，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-2，若函數(shù)y=f（g（x））-m有6個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$）
• D． （0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$的圖象，從而可得方程x²-2x+3m-1=0、x²-2x+m-1=0與x²-2x+2m-3-10^m=0都有兩個不同的解，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$的圖象如下，
，
由圖象可知，當(dāng)0＜m＜2時，f（u）-m=0有三個不同的解，
即|u+1|=m或lg（u-1）=m，
故u=-1-m或u=-1+m或u=1+10^m，
故g（x）=x²-2x+2m-2=-1-m或x²-2x+2m-2=-1+m或x²-2x+2m-2=1+10^m，
故x²-2x+3m-1=0或x²-2x+m-1=0或x²-2x+2m-3-10^m=0，
∵函數(shù)y=f（g（x））-m有6個零點，
∴方程x²-2x+3m-1=0、x²-2x+m-1=0與x²-2x+2m-3-10^m=0都有兩個不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=4-4（3m-1）＞0}\\{{△}_{2}=4-4（m-1）＞0}\\{{△}_{3}=4-4（2m-3-1{0}^{m}）＞0}\end{array}\right.$，
解得，m＜$\frac{2}{3}$，
故0＜m＜$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次方程的判別式的應(yīng)用，難點在于復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用．