Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

處有極大值

5

27

，試確定a、b的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可分析出f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0即可求出a，b然后將a，b的值代入f（x）=x³-3ax²-2bx中求出f^′（x）而函數(shù)的定義域為R則只需分別令f^′（x）≥0，f^′（x）≤0所得出的x的值所構(gòu)成的集合即分別為f（x）的單調(diào)遞增單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

處有極大值

5

27

且f^′（x）=3x²-6ax-2b
∴f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0
∴-

1

27

-

1

3

a+

2

3

b=

5

27

①
   

1

3

+2a-2b=0②
由①②可得a=

1

3

，b=

1

2

∴f^′（x）=3x²-2x-1
∴令f^′（x）≥0則x≤-

1

3

或x≥1
令f^′（x）≤0則-

1

3

＜x＜1
即f（x）在（-∞，-

1

3

]，[1，+∞）為增函數(shù)，在（-

1

3

，1）上為減函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)在某點處取得極值的條件和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解題的關(guān)鍵是要根據(jù)函數(shù)f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

處有極大值

5

27

分析出f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0！