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5.某環(huán)線地鐵按內、外環(huán)線同時運動,內、外環(huán)線的長度均為35千米(忽略內、外環(huán)線長度差異).
(1)當14列列車同時在內環(huán)線上運行時,要使內環(huán)線乘客候車時間不超過6分鐘,求內環(huán)境列車的最小平均速度為多少千米/小時?
(2)新調整的運行方案要求內環(huán)線列車平均速度為30千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為35千米/小時.現內、外環(huán)線共有28列列車全部投入運行,要使內、外環(huán)線乘客候車時間之差的絕對值不超過0.5分鐘,試問:內、外環(huán)線應投入幾列列車運行?

分析 (1)設內環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時,則要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘,可得$\frac{35}{14v}×60≤6$,從而可求內環(huán)線列車的最小平均速度;
(2)內環(huán)線投入x列列車運行,則外環(huán)線投入(28-x)列列車運行,內、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t1,t2分鐘,t1=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$,t2=$\frac{35}{35(28-x)}×60=\frac{60}{28-x}$,|t1-t2|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5,解不等式,即可求得結論.

解答 解:(1)設內環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時,則要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘,可得$\frac{35}{14v}×60≤6$,∴v≥25
∴要使內環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘,內環(huán)線列車的最小平均速度是25千米/小時;
(2)設內環(huán)線投入x列列車運行,則外環(huán)線投入(28-x)列列車運行,內、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t1,t2分鐘,
t1=$\frac{35}{30x}×60=\frac{70}{x}$,t2=$\frac{35}{35(28-x)}×60=\frac{60}{28-x}$
∴|t1-t2|=|$\frac{70}{x}-\frac{60}{28-x}$|≤0.5,⇒x2+232x-3920≤0且x2-288x+3920≤0,∴$\frac{288-\sqrt{67264}}{2}≤x≤\frac{-232+\sqrt{69504}}{2}$
∵x∈N+,∴x=15
∴當內環(huán)線投入15列列車運行,外環(huán)線投入13列列車時,內外環(huán)線乘客的最長候車時間之差不超過0.5分鐘.

點評 本題考查函數模型的構建,考查利用數學模型解決實際問題,解題的關鍵是正確求出乘客最長候車時間.屬于中檔題.

練習冊系列答案
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