Question

【題目】等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝3，前n項和為Sn，{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求an與bn；

(2)求

【答案】（1）an＝2n＋1，bn＝8n－1.（2）

【解析】

（1）設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，由題設(shè)條件建立方程組，解方程組得到d和q的值，從而求出an與bn；（2）由Sn=n（n+2），知，由此可求出的值．

(1)設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正數(shù)，

an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，

依題意有，

解得或 (舍去)．

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)．

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋

＝ (1－＋－＋－＋…＋－)

＝ (1＋－－)

＝－.

【點睛】

這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝.

(1)當n∈N＋，求f(n)的表達式；

(2)設(shè)an＝nf(n)，n∈N＋，求證：a1＋a2＋…＋an<2.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）利用f（x+y）=f（x）f（y）（x，y∈R）通過令x=n，y=1，說明{f（n）}是以f(1)＝為首項，公比為的等比數(shù)列求出；（2）利用（1）求出an=nf（n）的表達式，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和，即可說明不等式成立．

(1)解：f(n)＝f[(n－1)＋1]

＝f(n－1)·f(1)＝f(n－1)．

∴當n≥2時，＝.

又f(1)＝，

∴數(shù)列{f(n)}是首項為，公比為的等比數(shù)列，

∴f(n)＝f(1)·()n－1＝()n.

(2)證明：由(1)可知，

an＝n·()n＝n·，

設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an，

則Sn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)·＋n·，①

∴Sn＝＋2×＋…＋(n－2)·＋(n－1)·＋n·.②

①－②得，

Sn＝＋＋＋…＋－n·

＝－＝1－－，

∴Sn＝2－－<2.

即a1＋a2＋…＋an<2.