Question

16．已知函數(shù)f（x）=m-$\frac{2}{{{5^x}+1}}$．
（1）用定義證明f（x）在R上單調(diào)遞增
（2）若f（x）是R上的奇函數(shù)，求m的值．
（3）在（2）條件下，關(guān)于x的方程f（x）+λ+1=0在[0，3]上有解，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用證明單調(diào)性的步驟方法即可得出；
（2）利用f（-x）+f（x）=0，基礎(chǔ)即可．
（3）由（2）可知：f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，f（x）+λ+1=0化為λ=-2+$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出λ的范圍．

解答 解：（1）設(shè) x₁＜x₂且x₁，x₂∈R
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=m-\frac{2}{{{5^{x_1}}+1}}-（m-\frac{2}{{{5^{x_2}}+1}}）=\frac{{2（{5^{x_1}}-{5^{x_2}}）}}{{（{{5^{x_1}}+1}）（{{5^{x_2}}+1}）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${5}^{{x}_{1}}$+1＞0，${5}^{{x}_{2}}$+1＞0，${5}^{{x}_{1}}-{5}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴$f（x）+f（-x）=m-\frac{2}{{{5^x}+1}}+m-\frac{2}{{{5^{-x}}+1}}=0$，
即$2m-（\frac{2}{{{5^x}+1}}+\frac{{2×{5^x}}}{{{5^x}+1}}）=0⇒2m-2=0$，
∴m=1．
（3）由（2）可知：f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
f（x）+λ+1=0化為λ=-2+$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，λ=0；當(dāng)λ=3時(shí)，λ=$-\frac{129}{65}$．
∵f（x）+λ+1=0在[0，3]上有解，
∴$-\frac{129}{65}$≤λ≤0．
∴λ的取值范圍是$-\frac{129}{65}$≤λ≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．