Question

以下五個命題中，正確的有

 

．
①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

），則動點P的軌跡為橢圓；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點；
⑤已知A（-2，0）、B（2，0），直線AP與直線BP相交于點P，它們的斜率之積為

1

4

，則點P的軌跡方程為

x2

4

+y²=1．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用雙曲線的定義可判斷①；
②設(shè)定圓C的方程為（x-a）²+（x-b）²=r²，定點A（x₀，y₀），設(shè)B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），依題意，可求得動點P的軌跡方程，從而可判斷②；
③解方程2x²-5x+2=0的兩根，從而可判斷利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)可判斷③；
④分別求得雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1的焦點坐標，可判斷④；
⑤依題意，可求得點P的軌跡方程為

x2

4

-y²=1（x≠±2），可判斷⑤．

解答： 解：對于①，設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，|PA|-|PB|=k，當|k|＜|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線的一支，故①錯誤；
對于②，設(shè)定圓C的方程為（x-a）²+（x-b）²=r²，其上定點A（x₀，y₀），設(shè)B（a+rcosθ，b+rsinθ），P（x，y），
由

OP

=

1

2

（

OA

+

OB

）得

x= x0+a+rcosθ 2 y= y0+b+rsinθ 2

，消掉參數(shù)θ，得：（2x-x₀-a）²+（2y-y₀-b）²=r²，即動點P的軌跡為圓，故②錯誤；
對于③，解方程2x²-5x+2=0得：x=

1

2

或x=2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故③正確；
對于④，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1的焦點為（±

34

，0），橢圓

x2

35

+y²=1的焦點為：（±

34

，0），即雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y²=1有相同的焦點，故④正確；
對于⑤，已知A（-2，0）、B（2，0），直線AP與直線BP相交于點P，它們的斜率之積為

1

4

，則

y

x+2

•

y

x-2

=

1

4

（x≠±2），整理得：

x2

4

-y²=1（x≠±2），故⑤錯誤．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查橢圓、雙曲線的定義與標準方程、幾何性質(zhì)的應用，考查橢圓的參數(shù)方程的應用，屬于難題．