Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-4bx+2alnx（a，b∈R）
（I）若函數(shù)y=f（x）存在極大值和極小值，求的取值范圍；
（II）設(shè)m，n分別為f（x）的極大值和極小值，若存在實(shí)數(shù)，b∈（a，a），使得m-n=1，求a的取值范圍．（e為自然對數(shù)的底）

Answer 1

【答案】分析：（I）由于定義域?yàn)椋?，+∞）且y=f（x）存在極大值、極小值，所以f′（x）=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，從而可轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，借助判別式、韋達(dá)定理可得不等式組，由此可得的取值范圍；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），由（I）知f（x）存在極大值和極小值，設(shè)f′（x）=0的兩根為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），則f（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增，所以m=f（x₁），n=f（x₂），根據(jù)x₁x₂=1可把m-n表示為關(guān)于x₁，a的表達(dá)式，且表達(dá)式為1，借助x₁范圍可得a的范圍；
解答：解：（I）f′（x）=2ax-4b+=，其中x＞0，
由于函數(shù)y=f（x）存在極大值和極小值，
故方程f′（x）=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，即2ax²-4bx+2a=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，記為x₁，x₂，顯然a≠0，
所以，解得；
（II）由b∈（a，a）得a＞0，且（，），
由（I）知f（x）存在極大值和極小值，
設(shè)f′（x）=0的兩根為x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），則f（x）在（0，x₁）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，在（x₂，+∞）上遞增，
所以m=f（x₁），n=f（x₂），
因?yàn)閤₁x₂=1，所以0＜x₁＜1＜x₂，而且=∈（，），
由于函數(shù)y=x+在（0，1）上遞減，所以，
又由于，
所以，
所以m-n=f（x₁）-f（x₂）
=-+4bx₂-2alnx₂
=+2a（lnx₁-lnx₂）
=-a（）+2aln，
令t=，則m-n=-a（t-）+2alnt，令h（t）=-（t-）+2lnt（），
所以h′（t）=-1-+=-≤0，所以h（t）在（）上單調(diào)遞減，所以e-e^-1-2＜h（t）＜e²-e^-2-4，
由m-n=ah（t）=1，知a=，所以．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強(qiáng)、計(jì)算量大，能力要求高．